Perímetros, Áreas y Volumenes

Perímetro
El perímetro es la suma de todos los lados de cualquier polígono regular

Área
Para calcular el área de un polígono irregular debemos dividir en figuras básicas para conseguir áreas parciales al final se suman las áreas para obtener el área total


Volúmenes

El volumen  es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un objeto. Es una función derivada de longitud, ya que se halla multiplicando las tres dimensiones

Formulas de algunas figuras 

Teorema de pitagoras

Si se tiene un triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

H² = CO² + CA²

Ejemplo:

5²=3²+4²
25=9+16
25=25



Para saber cuanto mide la hipotenusa es nesesario sacar la suma de ls cuadrados de los catetos y el resultado sacar su raiz

H=x      Cateto a=12       Cateto b=5

H²= 12²+5²
H²= 144+25
H²=169
H = √169
H=13

Obtener el centro de un circulo

1)  Al circulo se le trazan 2 cuerdas

2) Sacar la mediatriz de cada una

3)La intercepcion de las mediatrises de las cuerdas es el punto medio

Partes de la circunferencia

Radio
Es un segmento que une el centro con el punto de la circunferencia perimetral

Diámetro
Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el punto medio

Cuerda
De una curva es un segmento de recta y cuyo dos extremos son puntos de la curva

Semicircunferencia
La mitad de la circunferencia

Arco
Una pequeña parte del perímetro de la circunferencia

Creación de un triangulo equilatero con regla y compas

1) Creamos un circulo con ayuda del compás

2) A partir del punto central del circulo sacamos su diámetro

3) Al diámetro sacamos su mediatris esto con el fin de que queden cuatro ángulos rectos

4) Tocando el punto que intercepta la circunferencia y el diámetro abrimos el compás a la mitad trazando un arco que toque dos puntos del circulo

5) Unimos esos puntos con el punto opuesto del diámetro

Rectas y puntos notables del triangulo

Mediatriz
Son la rectas que cortan a cada lado en su punto medio y son perpendiculares a dichos lados. Si un triangulo  se trazan todas las mediatrisez se interceptaran en un punto llamado circuncentro que es el centro de la circunferencia circunscrita.

Bisectrices
Son las rectas que dividen a cada uno de los angulos internos. Si en un triangulo se trasan la tres bisectrises se interceptaran en un punto llamado insentro es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente con los tres lados

Medianas
Las medianas de un triangulo son aquellas que tocan el punto central de cada recta del triangulo llevandola asta la recta opuesta a el. Al sacar todas las medianas de un triangulo se optendra el baricentro.

Altura
La altura de un triángulo es el segmento que une un vértice con el lado opuesto o su prolongación formando ángulo recto.Las tres alturas de un triángulo, o sus prolongaciones, se cortan en un punto que se llama ortocentro.

Creación de un triangulo isoceles compás y regla

1) Creamos una recta AB

2) Abrimos el compás a una distancia que pasa la longitud de la recta

3) Sobre el punto A creamos un arco que pase encima o debajo de la recta

4) Hacemos lo mismo sobre el punto B

5) Unir A y B con el punto de la intercepcion

Bisepcion

1) Centrados en el punto A abrimos el compás a cualquier distancia (tomando en cuanta que tocara el angulo)

2) con esa abertura tocaremos los dos lados del angulo, uno sera llamado B y el otro C

3) Centrados en el punto B trazamos un arco que pase por el centro del angulo

4) Con la misma medida asemos lo mismo en el punto C

5) donde se interceptan los arcos unimos con la base del angulo

Tipos de angulos

El ángulo agudo mide menos de 90°.

El recto mide 90°.

El obtuso es aquel que mide más de 90°.

El ángulo Entero mi de 360º

El llano mide 180°.

El ángulo cóncavo es mayor de 180°.

Construcción de la mediatris de un segmento

1)Crear un segmento que sera llamado AB

2) Con el compás apoyado en el punto A lo abriremos a mas distancia de la mitad que hay entre el segmento AB

3)  Tasemos un semicírculo con esa distancia

4) Con la misma medida hacemos lo mismo apoyados en el punto B

5) En los dos puntos donde se interceptan los cruces unimos

¿Que elementos Geométricos representan?

• El borde de una mesa: Linea recta
• Una estrella en el cielo vista desde la tierra: Linea recta
• El borde de una regla: Un plano y lineas paralelas
• La pagina de un periódico: Un plano
• La punta de un pica hielo: Un punto
• El filo de una espada: Linea recta
• La fachada de una casa: Un plano

8)Convercion De Forma Estandar A Forma General

Conociendo el valor de "a" y el vértice=(-h,k) solo sustituimos los datos en la forma estándar como primer paso, por ejemplo.
a=2    
v=(3,-5)

Estos datos sustituidos quedaran de la siguiente forma, recordando que "h" se multiplica por (-)
f(x)=2(x-3)²-5

Teniendo esta formula hay que elevar al cuadrado primero lo que esta entré paréntesis quedando así
f(x)=2(x²-6x+9)-5

multiplicamos los términos del paréntesis para así eliminarlos
f(x)=2x²-12x+18-5

Por ultimo reducimos.
f(x)=2x²-12x+13

y con esto concluimos teniendo ya la ecuación con la forma general

7)De Forma General A Estandar Cuando "a" Es Diferente A 1

Para ir explicando este método tomaremos como ejemplo la ecuación cuadrática "4x²-8x+7"

Primero agruparemos los términos cuadráticos y lineales (en este caso 4x²-8x) de esta manera

[4x²-8x]+7

Se factoriza lo que hemos agrupado

4[x²-2x]+7

Se obtiene la formula (b/2)² del termino que se encuentra dentro de los corchetes

(-2/2)²=1

El resultado se suma y resta dentro de los corchetes después de la variable "b"

4[x²-2x+1-1]+7

Se factorisa los tres términos primeros que se encuentran dentro del corchete para lograr el trinomio al cuadrado perfecto

4[(x-1)²-1]+7

Multiplicamos para eliminar corchetes

4(x-1)²-4+7

4(x-1)²+3

Con esto hemos conseguido ya pasar de la forma general a la forma estándar  ahora para graficar identificamos los valores de cada variable con base a la forma estándar

a=4

h=1 este valor es multiplicado por (-) todo esto por la forma estándar, solo es para saber el valor h y el vértice

k=3

v=(1,3)

la tabla quedaría de la siguiente manera tomando dos números menores y dos números mayores a "h" esto en los valores de "x"

Valores X	Valores Y
-1	19
0	7
1	3
2	7
3	19

6) De Forma Gerneral A Forma Estandar

Teniendo la ecuación de forma general, como el siguiente ejemplo.
y=x²+4x+1
Determinamos los valores de a,b y c
a=1
b=4
c=1

Sabiendo los valores de las variables, lo primero es hacer la siguiente formula (b/2)² sustituyendo "b"
(4/2)²=4

El resultado lo sumamos y restamos en la ecuación original después de la variable "b" quedando de esta manera
x²+4x+4-4+1

En seguida se a completa el trinomio al cuadrado perfecto de los primeros 3 términos (sacando la raíz cuadrada del primer termino, el signo del segundo termino y la raíz cuadrada del tercer termino todo elevado al cuadrado) los dos términos restantes se colocan tal cual están así:
(x+2)²-4+1
(x+2)²-3

Ya tenemos la ecuación de forma estándar para concluir tabularemos y graficaremos sabiendo que:

a=1 (aunque este termino no lo veamos existe, ya que si a fuera 0 todo lo que esta en paréntesis no existiria ya que cualquier sifra multiplicada por 0 es igual a 0)
h=-2
k=-3
v=(-2,-3)

La razón por la cual +2 camba a ser -2 es porque recordemos que la formula estándar es "a(x-h)²+k" así que la variable "h" se multiplica por (-) siempre, pero este solo es para obtener el valor de "h" y así mismo el vértice.

Sustituimos valores en la tabla y en la forma general o estándar, así mismo en seguida graficar teniendo el valor de "h" tomaremos dos numero menores y dos numero mayores en los valores de "x" así:

Valores X	Valores Y
-4	-1
-3	-2
-2	-3
-1	-2
0	1

5) Funcion De La Parabola En Forma Estandar

Existen dos tipos de forma por la cual podemos obtener la función de una parábola:

• Forma general: ax²+bx+c
• Forma estándar: a(x-h)²+k

Tan solo usaremos la forma estándar por ahora

Cada una de las variables determina la posición o que tan larga puede ser la parábola:

• La variable "a" determina que la concavidad sea negativa cuando " a<0" o positiva cuando "a>0"
• La variable "h" determina a posición que toma en el eje "x"
• La variable "k" determina la posición en el eje "y"

Para comprobar que estos datos son ciertos aremos un ejemplo con la ecuación (x-3)²

Identificamos valores de la ecuación computándola con la forma estándar

a=0

h=3

k=0

Sustituimos los valores de "x" del 1 al 5,  ya que el vértice es (3,0), en una tabla para su fácil localisacion de coordenadas en la gráfica

Valores X	Valores Y
1	4
2	1
3	0
4	1
5	4

Con esto podemos concluir que las variables ayudan en la posición de la parábola

4) Raices de una funcion cuadratica

La raíces son los puntos donde la parábola toca el eje x. Para obtener las raíces podemos factorizar o aplicando la formula general

Tomaremos de ejemplo la ecuación x²-6x+9

Por lo tanto la factorizacion es 

(x-3)    (x-3)

Despejamos la x de cada una de las ecuaciones

0=x-3      0=x-3

x=3          x=3

Cuando las raíces son el mismo numero podemos determinar que estas mismas son el vértice ya que x solo toca un punto y acompletamos "y" con un 0 por lo tanto la coordenada seria (x,0), como es el caso de este ejemplo

Vértice=(3,0)

Ya solo es cuestión de tabular y sustituir "x" en la formula inicial de esta manera

Valores X	Valores Y
1	4
2	1
3	0
4	1
5	4

Y graficamos para finalizar

3) Vertice Fuera del Origen

Comencemos por obtener el vértice, para esto aplicamos la siguiente formula -b/2a

Como ejemplo tomaremos la siguiente ecuación x²+2+3
Identificamos los valores
a=1
b=2
c=3

por lo tanto la formula seria 
x=-2/2(1)
x=-1

Sustituimos "x" en la ecuación inicial x²+2x+3 que quedaría así

Y=-1²+2(-1)+3
Y=1-2+3
Y=2

Teniendo los valores "x" "y" sabemos cual es la coordenada del vértice de la parábola ya tan solo colocamos la tabla, pero con dos números menores y dos números mayores de x para sustituir los en x de la ecuación inicial.

Valores X	Valores Y
-3	6
-2	3
-1	2
0	3
1	6

Con este prosedimiento podemos graficar cuando el vértice esta fuera del origen

2) Elementos de una parabola

Varios son los elementos de una parábola entre ellos están:

• Vértice
• Eje de simetría
• Concavidad
• Ramas
• Un valor máximo o mínimo

Para saber a cerca de los elementos de una parábola aremos un ejemplo así sabremos donde encontramos las partes de la parábola con la siguiente ecuación cuadrática "-x²"

La ecuación anteriormente mencionada sera sustituida de -5 a 5 en una tabla para localizar mas fácil mente las coordenadas y estas coordenadas las graficamos

Valores X	Valores Y
-5	-25
-4	-16
-3	-9
-2	-4
-1	-1
0	0
1	-1
2	-4
3	-9
4	-16
5	-25

Por ultimo identificamos cada elemento de la parábola
Eje de simetría=0
Concavidad= Negativa
Vértice=(0,0)
Mínimo= -25

1) Funcion Cuadratica

Un granjero tiene 120m de maya de alambre y con ello desea cercar tres lados de un terreno en forma rectangular ¿Que área podrá cercar?

Sabemos que:
P=120m
P=b+b+x
120=2b+x

Sabiendo estos datos despejamos "b" o "x" de la formula del perímetro en este caso despejamos "x"

x=120-2b

Sustituimos el valor de "x" en la formula del área "(b)(x)"
A=b(120-2b)
A=120b-2b²

Tan solo tendremos crear una tabla para sustituír el valor de "b" en la formula final, para hacer esto mas rápido sustituiremos de 10 en 10 asta encontrar un valor negativo

Lado b	Área
10	1000
20	1600
30	1800
40	1600
50	1000
60	0
70	-1400

Ya con esto podemos saber que el lado "b" puede ser de 10m asta 60m

Para poder terminar, graficamos los resultados de la tabla

El área sera desde 0 asta 1800m²